Норма приора: Комплектация Лада Приора норма (фото, особенности и опции) » Лада.Онлайн

Введение

BEAST предлагает широкий спектр априорных распределений, которые можно использовать для параметров, используемых в его моделях. На этой странице представлено описание и обоснование априорных значений по умолчанию для каждого параметра этих стандартных моделей в BEAUti с целью предоставления каждому параметру надлежащего и разумного априорного значения.

Дополняя описанные здесь априорные значения параметров, мы также предоставляем страницу о сливающихся априорных значениях, которая предлагает возможные варианты размещения априорных значений в базовом дереве и длинах его ветвей.

Параметры относительной скорости в BEAST v1.10

Начиная с версии 1.10, BEAST использует повторную параметризацию параметра относительной скорости между разделами. Старая параметризация — по умолчанию в версиях до 1.10 — называется mu , новая параметризация называется « nu«.

Причина этого изменения состоит в том, чтобы разрешить использование априорной оценки Дирихле для относительных ставок. Это, в свою очередь, должно обеспечить надлежащий априор, чтобы оценка предельного правдоподобия (MLE) могла работать на этих моделях (ранее, с mu , использовался неправильный унифицированный априор [0, Inf [).

Разница между mu и nu заключается в том, что mu взвешивается по размеру раздела, поэтому это относительная скорость для каждого сайта, и если умножить ее на тактовую частоту, даст абсолютную скорость сайта в этом разделе. nu — скорость для каждого раздела; это позволяет ядру перехода дельта-обмена поддерживать среднее значение 1 и, таким образом, быть подходящим для априорного алгоритма Дирихле.

Начиная с BEAST 1.10, параметры nu являются тем, над чем работают, и им предшествует Дирихле в таблице априорных значений в BEAUti.Чтобы сделать вещи более сопоставимыми со старыми версиями BEAST, значения mu также вычисляются и регистрируются. В будущих версиях мы продолжим регистрировать как nu , так и mu для полноты.

Вы можете переключить это на старую формулировку (т.е. BEAST v1.8.4 и старше), установив флажок «Использовать классические априорные значения / операторы» в верхней части таблицы приоритетов в BEAUti.

Байесовское AB-тестирование — Часть IV — Выбор приора | by Kaushik Sureshkumar

Как выбрать разумное предварительное распределение для ваших тестовых метрик

Этот пост является четвертой частью серии сообщений в блоге о применении байесовских методов тестирования AB к реальным сценариям продукта.В нем используются некоторые концепции, обсуждаемые в 1-й и 2-й частях серии.

1. Моделирование и анализ тестовых метрик на основе конверсии (метрики скорости)
2. Моделирование и анализ тестовых метрик на основе доходов (непрерывные метрики)
3. Расчет продолжительности теста
4. Выбор подходящего предшествующего
5. Запуск тестов с несколькими вариантами

В байесовском выводе априорное распределение — это распределение вероятностей, используемое для обозначения наших убеждений относительно неизвестной переменной до отбора выборок из основной совокупности.Затем мы используем эти данные для обновления наших представлений о переменной с помощью правила Байеса, что приводит к апостериорному распределению переменной.

В контексте теста AB предварительное распределение — это набор значений, которые, по нашему мнению, метрика теста должна принимать с вероятностью, присвоенной каждому значению. Затем мы проводим выборки в форме рандомизированного эксперимента, который используем для расчета наших апостериорных распределений. Эти апостериорные распределения, в свою очередь, используются для расчета результатов теста AB.

Итак, правило Байеса сообщает нам следующее

, которое на словах может быть записано как

, где знаменатель — нормализующая константа. Таким образом, правило можно упростить до

Так как результаты теста вычисляются на апостериорном уровне, а априор является фактором апостериорного, выбор априорного значения влияет на тест, но мы должны быть осторожны с тем, как большое влияние это оказывает. Если мы выберем слишком сильную априорность, априор будет доминирующим фактором, и вероятность того, что выборка образцов не будет иметь большого эффекта, сделает эксперимент бесполезным.Это может привести к тому, что оба апостериора, контрольный и вариантный, быстро сойдутся, и тест будет безрезультатным. Однако, если мы выберем очень слабую априорную оценку, апостериорная оценка будет в основном зависеть от вероятности, поэтому нам потребуется больше выборок для достижения окончательного результата, что приведет к более длительному тестированию и более медленной итерации нашего продукта.

Чтобы упростить вычисление наших апостериорных распределений, мы также можем использовать сопряженные априорные числа. Сопряженное априорное распределение — это априорное распределение, которое мы можем использовать с функцией правдоподобия, так что апостериорное распределение, которое мы вычисляем, имеет форму, аналогичную априорному распределению.Использование сопряженных априорных значений упрощает наши вычисления, но при этом обеспечивает хорошую статистическую модель для тестовой метрики. Мы видели, как упрощенные вычисления и выбор сопряженных априорных чисел сработали в нашу пользу в первом и втором постах этой серии.

Прежде чем мы углубимся в то, как выбирать априорную, давайте кратко рассмотрим три основных типа априорной оценки. [1]

Субъективно

• На основе знаний экспериментатора в данной области
• В нашем случае это будет основано на предыдущем опыте группы разработчиков продукта и данных с этой метрикой тестирования

Объективно и информативно

• На основе исторических данных данные значения
• В нашем случае это будет основано на любых исторических данных, которые у нас есть о нашей тестовой метрике
• Это также может быть апостериорное распределение из предыдущего эксперимента

Неинформативно

• Приоры, которые не передать любую информацию о значении
• В нашем случае это будет равномерное распределение по тестовой метрической области

Предположим, что мы новичок в компании и продукте, поэтому у нас нет достаточной информации для использования субъективной оценки. прежний.Мы также не хотим использовать неинформативный априор, потому что считаем, что это приведет к более длительному тестированию и, таким образом, помешает развитию нашего продукта. Давайте рассмотрим несколько приемов, которые мы можем использовать, чтобы выбрать объективную и информативную априорную задачу.

Самый простой способ выбрать априорное распределение — это построить график и изучить исторические данные соответствующей метрики теста. Чтобы разобраться в этом дальше, давайте рассмотрим эксперимент из 1-го поста этой серии. Предположим, мы недавно изменили способ обмена сообщениями на экране дополнительных продаж и хотим протестировать его перед тем, как представить его более широкой базе пользователей.Мы предполагаем, что внесенные нами изменения приведут к значительному повышению коэффициента конверсии.

Прежде чем мы настроим тест, мы хотим использовать исторические данные, чтобы выбрать априор. Давайте посмотрим, как мы можем построить график данных, чтобы помочь нам сделать выбор. Мы собираемся разделить данные на 100 разделов, рассчитать коэффициент конверсии для каждого из них и отобразить коэффициенты конверсии в виде гистограммы.

 import pandas as pd 
 import numpy as np 
 import matplotlib.pyplot as plt 
 import seaborn as sns 
 Prior_data = pd.read_csv ('prior_data_conversions.csv') 
 x = np.linspace (0,1,1000) разделов = np.array_split (prior_data, 100) rates = [] для раздела в разделах: 
 rates.append (раздел ['преобразованный' ] .mean ()) _, ax = plt.subplots () sns.histplot (rates, kde = True, label = 'CR') ax.legend () 
 ax.set_xlabel ('Conversion Rate') 
 ax.set_ylabel ('Плотность') 
 ax.set_title ('Гистограмма предыдущих коэффициентов конверсии') 

Теперь мы можем выбрать предварительное распределение, которое похоже на распределение выше, но немного слабее.Мы не хотим выбирать слишком сильное априорное значение, поскольку хотим, чтобы вероятность была доминирующим фактором при вычислении априорного значения. Однако мы хотим выбрать достаточно сильный априор, чтобы продолжительность теста была короче.

Мы будем использовать бета-распределение для моделирования нашего коэффициента конверсии, поскольку это гибкое распределение на [0,1], а также хорошее сопряженное априорное распределение. Итак, давайте продолжим и наметим некоторые потенциальные априоры различной силы для нашего упражнения.

 импортировать numpy как np 
 из scipy.stats import beta 
 import matplotlib.pyplot as plt_, ax = plt.subplots (1, 1) x = np.linspace (0,1,1000) beta_weak = beta (4, 8) 
 beta_mid = beta (16, 36) 
 beta_strong = beta (33, 69) ax.plot (x, beta_weak.pdf (x), label = f'weak Beta ({4}, {8}) ') 
 ax.plot (x, beta_mid.pdf ( x), label = f'mid Beta ({16}, {36}) ') 
 ax.plot (x, beta_strong.pdf (x), label = f'strong Beta ({33}, {69})' ) ax.set_xlabel ('Вероятность преобразования') 
 ax.set_ylabel ('Density') 
 ax.set_title ('Choice of Priors') 
 ax.legend () 

Мы видим, что даже самые сильные априорные значения, которые мы построили, слабее, чем историческое распределение коэффициента конверсии. Таким образом, мы можем выбрать 𝐵𝑒𝑡𝑎 (33,69) в качестве предварительного распределения.

Теперь мы можем запустить наш эксперимент, вычислить апостериорные данные и результаты теста. Чтобы узнать больше о том, как это сделать, в частности для описанного эксперимента, прочтите этот пост.

Более сложным, но очень интересным методом выбора априорного распределения является использование цепей Маркова Монте-Карло.Этот метод особенно полезен для моделей, в которых наша неизвестная переменная определяется другими случайными величинами, каждая из которых имеет собственное распределение. Так что это хороший метод для AB-тестов, в которых метрика тестирования основана на доходе (например, средний доход на пользователя).

Прежде чем мы перейдем к тому, как использовать этот метод, позвольте мне представить, как он работает — MCMC заслуживает отдельного поста, поэтому это введение будет очень кратким. [2] Методы MCMC позволяют нам делать выборку из неизвестного распределения путем запуска моделирования (отсюда Monte Carlo часть названия), в котором мы создаем цепь Маркова, которая имеет наше неизвестное распределение в качестве стационарного распределения.

Но что на самом деле означают эти термины? Итак, цепь Маркова — это процесс, который переходит между набором состояний, и каждый переход следует свойству Маркова. Проще говоря, это означает, что вероятность перехода в определенное состояние зависит только от текущего состояния процесса, а не от предыдущих состояний, из которых процесс совершил переход. Из-за этого свойства без памяти и перехода между разными состояниями этот процесс часто называют случайным блужданием.Предположим, мы выполняем это случайное блуждание для бесконечного числа шагов, тогда стационарное распределение — это доля шагов, на которых мы посетили каждое состояние.

Теперь, когда у нас есть немного знаний о методах MCMC, давайте остановимся на их использовании, чтобы выбрать априор для нашего теста AB. Рассмотрим эксперимент из 2-го поста этой серии. Недавно мы внесли изменения UX в функцию магазина в нашем приложении. Мы считаем, что эти изменения облегчают нашим пользователям совершение более крупных покупок в приложении, и мы хотим протестировать это перед выпуском для нашей более широкой пользовательской базы.Мы предполагаем, что внесенные нами изменения приведут к значительно более высокому среднему доходу на пользователя.

Мы моделируем доход, генерируемый каждым пользователем, как случайную величину 𝑅 = 𝑋 ∗ 𝑌, где:

𝑋 — случайная величина Бернулли, которая указывает, совершил ли пользователь покупку, с вероятностью конверсии 𝜆 — 𝑋∼𝐵𝑒𝑟 (𝜆 )

𝑌 — экспоненциальная случайная величина, которая относится к размеру покупки, если она совершена, с параметром ставки 𝜃 — 𝑌∼𝐸𝑥𝑝 (𝜃)

Мы можем использовать сопряженные априорные значения для 𝜆 и, чтобы упростить наши вычисления.

Теперь нам нужно выбрать априори для наших параметров, которые могут быть неинформативными.

 импортировать arviz как az 
 импортировать pymc3 как pmprior_revenue = pd.read_csv ('prior_data_revenue.csv') rev_observed = Prior_revenue [Prior_revenue ['преобразовано'] == 1] ['доход']. Valuesconv_observed = Prior_revenue ['преобразовано'] .valuesmodel = pm.Model () с моделью: 
 alpha = pm.Uniform ("alpha", lower = 0, upper = 100) 
 beta = pm.Uniform ("beta", lower = 0, upper = 100) 
 k = pm.Uniform ("k", lower = 0, upper = 5) 
 theta = pm.Uniform ("theta", lower = 0, upper = 5) cr = pm.Beta ('cr', alpha = alpha, beta = beta) 
 rr = pm.Gamma ('rr', alpha = k, beta = ( 1 / theta)) конверсия = pm.Bernoulli ('конверсия', p = cr, наблюдаемый = conv_observed) доход_пер_продажа = pm.Exponential ('доход_пер_продажа', lam = rr, наблюдаемый = rev_observed) trace = pm.sample (10000, return_inferencedata = False) 

После того, как мы подобрали модель, мы можем построить график распределения каждого параметра и распечатать некоторые итоговые статистические данные.

 с моделью: 
 az.plot_trace (trace, compact = False) 

 с моделью: 
 display (az.summary (trace, kind = 'stats', round_to = 2)) 

 map_estimate = pm.find_MAP (model = model) print (map_estimate) 

Две основные статистики, которые мы собираемся использовать, — это среднее значение каждого параметра и оценка MAP каждого параметра. Проще говоря, последний представляет собой оценку точек распределения каждого параметра, которые определяют режимы конверсии и распределение доходов. Поскольку наши априорные значения параметров единообразны, эти оценки также являются MLE априорных распределений и.[3]

Давайте продолжим и построим предварительные оценки, используя каждую из этих характеристик.

 из scipy.stats import betacr_prior_mean = beta (33, 67) 
 cr_prior_map = beta (47, 100) x = np.linspace (0,1,1000) _, ax = plt.subplots () sns.lineplot (x = x, y = cr_prior_mean.pdf (x), label = 'mean Beta (33,67)') 
 sns.lineplot (x = x, y = cr_prior_map.pdf (x), label = 'map Beta (47,100) ') ax.set_xlabel (' Conversion Probability ') 
 ax.set_ylabel (' Density ') 
 ax.set_title (' Conversion Probability Prior ') 
 ax.legend () 

В случае вероятности преобразования 𝜆, оба дистрибутивы очень похожи.Мы продолжим и выберем более слабый для хорошей оценки, поэтому наш априор равен

𝜆∼𝐵𝑒𝑡𝑎 (33,67)

 из scipy.stats import gammarr_prior_mean = gamma (a = 2.3, scale = 2.0) 
 rr_prior_map = гамма (a = 5, масштаб = 0,4) x = список (диапазон (20)) rr_mean = [rr_prior_mean.pdf (i) для i в x] 
 rr_map = [rr_prior_map.pdf (i) для i в x] _ , ax = plt.subplots () sns.lineplot (x = x, y = rr_mean, label = 'mean Gamma (2.3,2.0)') 
 sns.lineplot (x = x, y = rr_map, label = 'map Gamma (5,0.4) ') ax.set_xlabel (' Доходность ') 
 ax.set_ylabel ('Density') 
 ax.set_title ('Revenue Rate Prior') 
 ax.legend () 

Аналогично, в случае нормы дохода 𝜃, давайте продолжим и выберем более слабый априор, который использует среднее значение распределения 𝑘 и Θ из нашего алгоритма MCMC. Итак, у нас есть

𝜃∼𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 (2.3,2.0)

Теперь, когда у нас есть априорные значения, мы можем запустить наш эксперимент, вычислить апостериорные значения и результаты теста. Чтобы узнать больше о том, как это сделать, в частности для описанного эксперимента, прочтите этот пост.

Приоры обучения для байесовских вычислений в нервной системе

Abstract

Наша нервная система постоянно комбинирует новую информацию, полученную от наших органов чувств, с информацией, которую она получила на протяжении всей жизни. Многочисленные исследования показали, что люди справляются с этим, интегрируя свои наблюдения со своим предыдущим опытом (априорными) способом, близким к статистическому оптимуму. Однако мало что известно о том, как нервная система приобретает или изучает априорные значения.Здесь мы представляем результаты экспериментов, в которых основное распределение целевых местоположений в задаче оценки было изменено, манипулируя предыдущими субъектами, которые следует использовать. Наш экспериментальный план позволил нам измерить развитие субъектов до того, как они учились. Мы подтверждаем, что благодаря обширной практике субъекты изучают правильные приоритеты для выполнения задачи. Мы обнаружили, что испытуемые могут быстро усвоить среднее из новых априорных значений, тогда как дисперсия усваивается медленнее и с переменной скоростью обучения. Кроме того, мы обнаружили, что байесовская модель вывода может предсказывать ход наблюдаемого обучения, предлагая интуитивное объяснение результатов.Данные свидетельствуют о том, что нервная система постоянно обновляет свои априорные значения, чтобы обеспечить эффективное поведение.

Образец цитирования: Берникер М., Восс М., Кординг К. (2010) Обучение базовым принципам для байесовских вычислений в нервной системе. PLoS ONE 5 (9): e12686. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0012686

Редактор: Владимир Брезина, Медицинская школа Mount Sinai, Соединенные Штаты Америки

Поступила: 14 мая 2010 г .; Одобрена: 28 июля 2010 г .; Опубликовано: 10 сентября 2010 г.

Авторские права: © 2010 Berniker et al.Это статья в открытом доступе, распространяемая в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution License, которая разрешает неограниченное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии указания автора и источника.

Финансирование: грантов NIH. 1R01NS063399 и 5P01NS0044393. Финансирующие организации не играли никакой роли в дизайне исследования, сборе и анализе данных, принятии решения о публикации или подготовке рукописи.

Конкурирующие интересы: Авторы заявили, что никаких конкурирующих интересов не существует.

Введение

При любом сенсомоторном поведении мы полагаемся на наши сенсорные входы, а также на знания, которые мы накопили в течение нашей жизни. Например, при спуске по лестнице мы используем нашу визуально воспринимаемую оценку ширины и глубины лестницы, а также наше восприятие этих типичных атрибутов (что очевидно, когда мы спускаемся по лестнице, не глядя). Байесовская статистика предоставляет способ расчета того, как предыдущие знания могут быть объединены с новой информацией, полученной от наших органов чувств, статистически оптимальным образом.Широкий спектр исследований показал, что поведение человека близко к этим предсказаниям оптимального сочетания. В частности, байесовское использование априорной информации наблюдалось в таких задачах, как восприятие зрительного движения [1], [2], комбинация сигналов [3], [4], зрительно-моторная интеграция [5], [6] планирование движений. [7] и двигательная адаптация [8]. Хотя эти исследования показали, что люди могут эффективно использовать априорную информацию, мало что известно о том, как такие априорные данные узнаются.

На основании экспериментальных данных (e.g., [9], [10]) очевидно, что априорные значения могут изменяться, однако неясно, , как эти априорные значения меняются с течением времени, сходятся ли они к достоверному распределению и в каких масштабах времени они меняются. Мы начали наше исследование с двух гипотез относительно скорости обучения. Может случиться так, что и среднее значение, и дисперсия априорного значения изучаются с одинаковой скоростью (см. Рис. 1A), возможно, опосредовано одними и теми же нейронными механизмами. В соответствии со многими вычислительными моделями обучения (например, [11], [12]) нейронные процессы адаптации могут фиксировать эту скорость.В качестве альтернативы, изучение среднего и дисперсии может происходить с разной скоростью (рис. 1А), возможно, опосредовано различными нейронными механизмами. Это согласуется со статистическими соображениями, если разные переменные имеют разные уровни неопределенности. Аналогичным образом, недавние данные о том, что определенные области коры головного мозга модулируют скорость обучения [13], основанные на представлениях о неопределенности [14], [15], подразумевают, что этот тип обучения может быть нормой. Наша цель состояла в том, чтобы определить, как люди изучали априорное обучение и какая стратегия могла быть ответственна за это.

Рис. 1. Иллюстрация потенциальных моделей обучения и обзор эксперимента.

A) Возможное изображение предварительных оценок испытуемых, когда они изучают среднее значение и дисперсию с одинаковой скоростью (вверху) или когда скорость обучения дисперсии ниже (внизу), как можно было бы ожидать из статистических соображений. Б) Изображение экспериментальной установки. Монеты отображаются на экране, и испытуемые помещают горизонтальную «сеть» с лопастным колесом. C) Распределение по местоположениям монет определяет априорное, наблюдаемая контрольная монета определяет вероятность для целевой монеты, а правило Байя предписывает оптимальное апостериорное распределение оценочного местоположения целевой монеты.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0012686.g001

Мы разработали три версии эксперимента по «ловле монет», чтобы проверить, могут ли испытуемые не только оценить априорную, но и независимо оценить как среднее, так и среднее значение. отклонение от приора. В первом эксперименте мы обнаружили доказательства того, что испытуемые в конечном итоге оценили точную априорную оценку и количество испытаний, необходимых для этого. Во втором эксперименте мы обнаружили, что испытуемые могут узнать дисперсию априорного значения независимо от их оценки среднего.В третьем эксперименте мы обнаружили доказательства того, что испытуемые могли правильно оценивать несколько средних значений заранее и когда переключаться между ними. Для сравнения мы исследовали несколько байесовских моделей вывода и сравнили их производительность при выполнении одних и тех же задач. Этот анализ предложил интуитивно понятное объяснение кажущихся изменений в темпах обучения субъектов, демонстрируемых в ходе эксперимента. Кроме того, мы обнаружили, что испытуемые могли вывести новое среднее из априорного почти так же быстро, как байесовская модель вывода.В совокупности мы представляем убедительные доказательства того, что испытуемые способны приобретать точные априорные знания с множественными и переменными темпами обучения и использовать их для принятия статистически оптимальных решений.

Методы

В задаче «ловля монеты» мы исследовали, как испытуемые адаптировали свое ожидание расположения монет (априорное) в ответ на изменения в лежащем в основе распределении. Испытуемые должны были оценить местоположение виртуальной целевой монеты, случайно взятой из нормального распределения.В каждом испытании испытуемым давали зашумленную информацию о текущем местонахождении монет в виде одной «монеты-подсказки» (аналогично плану эксперимента [10]), а затем их просили угадать местонахождение «целевой монеты». . Чтобы успешно оценить местоположение целевой монеты, испытуемым нужно было интегрировать вероятность монеты (полученную из монеты-реплики) с ее априорными (распределением предыдущих местоположений целевых монет). Собирая данные о том, где испытуемые оценивают целевую монету, мы могли затем оценить априорность, использованную им, и проанализировать ее временную эволюцию.

Протокол эксперимента

Все протоколы экспериментов были одобрены Экспертным советом Северо-Западного университета и соответствовали заявлению о политике Северо-Западного университета в отношении использования людей в экспериментах. Все участники были наивны в отношении целей эксперимента, подписали формы согласия и получили оплату за участие. Испытуемые усаживались перед экраном компьютера и получали электронное лопаточное колесо (Griffin PowerMate). На мониторе компьютера тонкая вертикальная полоса высотой экрана была наложена на естественное озеро.Испытуемым было показано, как использовать гребное колесо для управления расположением «сети» (тонкой полосы) на экране. Программа, созданная специально для этих экспериментов (в Matlab), получила позиции целевой монеты из заданного гауссовского распределения. Это распределение было предварительным экспериментом. Горизонтальное положение целевой монеты затем использовалось как среднее значение второго гауссовского распределения для случайного определения местоположения биткой монеты. В каждом испытании эта монета-сигнал показывалась первой и гасла только по окончании испытания.Затем испытуемые перемещали сеть в то место, которое, по их мнению, наиболее вероятно «поймает» целевую монету. Поскольку сетка покрывала всю высоту экрана, важным было только горизонтальное положение, что делало эту задачу одномерной. После нажатия на лопаточное колесо отображалась целевая монета с указанием того, успешно ли испытуемый «поймал» ее, и каков был их текущий счет (рис. 1B). Таким образом, реплика была шумным свидетельством местоположения целевой монеты: вероятностью.Среднее значение этого распределения определялось местонахождением биткой монеты. Точно так же дисперсия этого распределения наблюдалась от испытания к испытанию через разброс между местоположениями реплик и целевых монет. Чтобы правильно оценить местоположение целевой монеты, испытуемые должны были бы интегрировать эту вероятность с оценкой априорного или целевого местоположения монеты. Запомнив местоположение целевой монеты от испытания к испытанию, субъекты могут сделать это заранее.

С небольшими вариациями (см. Ниже) испытуемых проинструктировали, что стоящий за ними человек бросает монеты, по две за раз.Эти две монеты вылетели из руки человека одновременно и полетели к озеру. Первая монета, которую увидели испытуемые (кий), приземлилась в озеро первой, и они должны были разместить сеть там, где они с наибольшей вероятностью поймают вторую (целевую) монету, которая сейчас находится в середине полета и вот-вот приземлится. Они могли занять столько времени, сколько им нужно. Как только они правильно разместили сеть и нажали на гребное колесо, они узнавали, поймали ли они вторую монету. Кроме того, их проинструктировали, что этот человек не пытается помочь им или помешать им поймать монеты, и не изменит способ подбрасывания монет в ответ на их поведение.

Целевая монета была поймана, если сеть и целевая монета перекрывались как минимум на 50% ширины монеты. Единицы экрана были нормализованы между -0,5 (левый край) и 0,5 (правый край). В каждом эксперименте стандартное отклонение распределения правдоподобия было зафиксировано на уровне 0,1 (одна десятая ширины экрана). Поскольку нас интересовало изучение априорных значений, манипулировали только их распределениями (рис. 1C). Чтобы гарантировать, что каждый субъект имеет уникальный априор, для определения априорного среднего значения для каждого предмета использовалось другое случайное местоположение в центре экрана (полученное из нормального распределения с нулевым средним и стандартным отклонением 0.1). В первом эксперименте априорная дисперсия имела одно из двух значений: 0,05 или 0,2. Всем участникам первого эксперимента дали инструкции, описанные выше, и попросили провести 400 испытаний.

Во втором эксперименте испытуемым давались идентичные инструкции. Два значения были использованы для дисперсии, те же два значения, что и в первом эксперименте (0,05 и 0,2). Одно из этих двух значений было случайно выбрано в начале эксперимента и присвоено предыдущему. После половины испытаний (250) дисперсия приора изменится на другое значение.Все субъекты выполнили в общей сложности 500 испытаний после получения инструкций, описанных выше.

В третьем эксперименте два местоположения были использованы для априорных средних значений, –0,05 и 0,05. После завершения 10 испытаний априорное среднее значение изменится на другое на основе вероятности Бернулли (p = 0,2). Дисперсия априора составила 0,1 на протяжении всего эксперимента. Субъектам были даны инструкции, описанные выше, однако им была предоставлена ​​дополнительная информация о том, что в случайное время человек, подбрасывающий монеты, будет двигаться.Всем участникам было предложено выполнить 600 испытаний.

Анализ данных

Для успешного выполнения задачи по улавливанию монеты в каждом испытании сетку следует размещать в наиболее вероятном местоположении целевой монеты. Согласно правилу Байеса, это дается как μ _t = (1 — r) μ _p + rμ _l , где μ _p и μ _l — среднее из предшествующих, а среднее значение правдоподобия (местоположение монеты-подсказки), а μ _t — это среднее значение вероятности целевой монеты. r определяется через дисперсии априорной вероятности ( r = σ _p ² / ( σ _p ² + σ _l ² ))) . Фактически, r — это альтернативная форма усиления Калмана. Записав местоположение реплики и предположив, что испытуемые поместили сеть там, где, по их мнению, находится целевая монета (μ _t ), мы можем вывести параметр r и их веру в априорное среднее значение.

Для всех экспериментов мы хотели изучить как то, что испытуемые узнали (оценки r и μ _p ), так и то, как эти параметры менялись во времени. Таким образом, для всех испытуемых каждые десять последовательных испытаний были объединены вместе. Эти объединенные данные затем использовали для соответствия r и µ _p (в смысле линейных наименьших квадратов). С помощью этой процедуры мы получили меры того, как субъектные оценки априорного развития менялись во времени. Для эксперимента 3 мы прибегли к данным, выровненным по переключателю в предыдущем среднем, а затем объединили все данные в последующих 10 испытаниях.Таким образом, мы могли сделать вывод о том, как каждый испытуемый оценил априорное среднее значение после изменения его значения.

Байесовский анализ вывода

Для всех экспериментов испытуемым необходимо было оценить априорное среднее значение и дисперсию, чтобы успешно завершить испытания. В экспериментах 1 и 2 мы хотели изучить, как испытуемые адаптировали свои оценки как среднего, так и дисперсии экспериментального предшествующего значения. Поэтому мы разработали байесовскую модель вывода для проведения тех же экспериментов (посредством моделирования) и для оценки как среднего, так и дисперсии экспериментального априорного значения.Чтобы упростить анализ и сделать модель еще более точной, мы предположили, что она точно знает дисперсию правдоподобия. Затем производительность модели использовалась в качестве эталона для сравнения с испытуемыми. В эксперименте 3 каждый субъект подвергался воздействию каждого из двух средств в течение приблизительно 50 блоков испытаний в течение 600 пробных экспериментов. Кроме того, из результатов экспериментов 1 и 2 мы пришли к выводу, что испытуемые могли относительно быстро оценивать среднее значение предшествующего. На основе этого мы разработали байесовскую модель вывода, которая знала правильную дисперсию априорного значения, но должна была сделать вывод, какое из двух средних значений используется в настоящее время.Результаты этой модели также сравнивались с поведением испытуемых.

Для анализа экспериментов 1 и 2 с помощью нашего байесовского подхода нам необходимо предложить вероятностное описание априорного среднего и дисперсии. Если бы среднее значение и дисперсия были непрерывными и неограниченными переменными, то их можно было бы представить с помощью гауссовых распределений, а для их оптимальной оценки можно было бы использовать фильтр Калмана. Таким образом можно легко смоделировать априорное среднее. Однако дисперсия определяется только для положительных значений и не может быть точно описана таким образом.Вместо этого мы должны ограничиться соответствующим неотрицательным распределением. Для этого мы используем распределение обратной гаммы с нормальным масштабированием ( NIG ) (см. Приложение S1). Использование этого представления дает множество преимуществ. Распределение NIG является сопряженным априорным для гауссовского правдоподобия, поэтому мы можем легко обновить значения его параметров для вычисления апостериорного распределения. Кроме того, он правильно ограничивает дисперсию неотрицательными значениями и присваивает исчезающе малые вероятности нулевой дисперсии.

Для экспериментов 1 и 2 мы использовали распределение NIG , чтобы проверить производительность байесовской модели вывода. Модель имеет четыре свободных параметра. Для данного набора этих параметров мы могли бы смоделировать множество экспериментов, чтобы найти средние оценки модели для μ _p и σ _p ² и результирующего r . Чтобы получить « лучший » набор из четырех свободных параметров и избежать чрезмерной подгонки, мы нашли значения, которые максимизировали логарифмическую вероятность наблюдения разбросанных по каждому субъекту усредненных данных, средние значения μ _p и выигрыши r от эксперименты 1A и 1B.После фиксированных значений этих параметров байесовская модель вывода использовалась для моделирования многих прогонов эксперимента 2 для определения средней производительности модели. См. Приложение S1 для более подробной информации. Затем эти результаты можно было сравнить со средними показателями по предметам. Наконец, в качестве дополнительной точки для сравнения мы также исследовали линейную модель, которая оценивала только априорную дисперсию. В этой модели использовалось текущее окно последних десяти испытаний для вычисления выборочного наблюдения дисперсии предыдущего.Затем модель использовала это наблюдение для обновления своей оценки дисперсии с использованием фиксированной скорости обучения; модель по сути является линейным фильтром (см. Приложение S1). Используя эти две модели в качестве отправной точки, мы могли сравнивать результаты испытуемых как с простой моделью, так и с оптимальной моделью вывода Байеса.

В эксперименте 3, в ходе 600 испытаний этого эксперимента, каждый субъект подвергался воздействию каждого из двух средств в течение приблизительно 50 блоков испытаний. На основании этого и аналогичных соображений, отмеченных выше, мы предположили, что модель вывода имеет доступ к истинной дисперсии, но должна сделать вывод, какое из двух средств используется в настоящее время.Для этого анализа модель вывода использовала монеты, отображаемые в каждом испытании, для вычисления вероятности того, что какое-либо среднее значение используется в настоящее время, и наиболее вероятного целевого местоположения. В отличие от предыдущей байесовской модели вывода свободных параметров не было. Как и в случае с анализом экспериментов 1 и 2, мы смоделировали множество идентичных версий эксперимента 3 (в каждой по 600 испытаний), чтобы получить среднюю производительность модели. См. Приложение S1 для более подробной информации.

Результаты

Мы разработали эксперимент, в котором мы наблюдаем за предшественниками испытуемых, когда они принимают участие в простой компьютерной игре.В этой игре испытуемых просят попытаться поймать монеты сеткой. На каждом испытании испытуемому предъявляется шумное свидетельство местонахождения монеты (реплика). Затем субъект помещает виртуальную сеть там, где, по его мнению, он с наибольшей вероятностью поймает целевую монету. Испытуемым было приказано попытаться поймать как можно больше монет. Расположение биткой монеты было взято из распределения, сосредоточенного на целевой монете. Таким образом, реплика сама по себе предоставляет субъекту свидетельство того, где приземлится целевая монета, определяя вероятность.Дисперсия этой вероятности оставалась постоянной на протяжении всех экспериментов. Однако среднее значение этой вероятности было взято из предварительного распределения предшественников. Следовательно, чтобы точно предсказать местоположение целевой монеты в каждом испытании, испытуемым потребуется оценить априорную и интегрировать эту информацию с вероятностью. В эксперименте 1 априорное значение оставалось постоянным, в эксперименте 2 дисперсия предыдущих изменений, а в третьем эксперименте среднее априорное значение периодически изменялось.В результате мы могли оценить, могут ли испытуемые оценить априорное значение, и если да, то узнали ли они независимо друг от друга как дисперсию, так и среднее значение этого априорного значения.

Эксперимент 1

Для каждого испытуемого использовалось одно из двух значений, большое или маленькое, для определения дисперсии предыдущего эксперимента. Среднее для априорного значения выбиралось из случайного места на экране в начале каждого эксперимента. Мы обнаружили, что после достаточного количества испытаний субъекты имели тенденцию приобретать стратегию, которая точно отражала предыдущие.Для субъектов, подвергшихся большой дисперсии (группа 1A, N = 7), реплики и целевые монеты появлялись в относительно широких областях экрана. Эти испытуемые были склонны выбирать сетевые местоположения относительно близко к отображаемой сигнальной монете, как предписывает байесовская интеграция (см. Рис. 2). Точно так же для субъектов, подверженных небольшой дисперсии (группа 1B, N = 7), реплики и целевые монеты появлялись в относительно узкой области экрана. Эти субъекты имели тенденцию выбирать чистые местоположения, относительно близкие к среднему значению предыдущего, что опять же соответствует байесовской интеграции (см.рис.2).

Рис. 2. Данные двух репрезентативных субъектов в эксперименте 1.

В целях наглядности среднее значение априорного значения целевой монеты было удалено из положений контрольной монеты для центрирования данных. Для испытуемого из группы 1А (красные точки) в среднем сетка была размещена относительно близко к биткой (диагональ представляет собой сетку = биткую монету). Для испытуемого из группы 1B (синие точки) в среднем сетка располагалась относительно близко к среднему значению целевых монет (далеко от диагонали).Линейные аппроксимации для всех 400 испытаний эксперимента показаны сплошными красными и синими линиями. Оптимальные наклоны Байеса — 0,8 и 0,2.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0012686.g002

Мы оценили среднее значение для каждого субъекта (см. Методы), используя 10 последовательных испытаний. Согласно нашему анализу, в среднем испытуемые быстро усваивали среднее из предыдущих экспериментальных данных, почти в течение первых 10 испытаний. Это было верно как для большой, так и для небольшой дисперсионных групп (см. Рис.3А, Г). Однако, как и следовало ожидать на основе статистических принципов (дисперсия выборочного среднего пропорциональна стандартному отклонению распределения), отдельные субъекты были менее точны при оценке среднего в условиях большой дисперсии. Качественно это можно наблюдать по большей изменчивости их оценок (сравните стандартные шкалы ошибок, рис. 3A, D). Вариабельность группы 1А была значительно больше, чем группы 1В (две выборки t -тест, p <0,001 ).Тем не менее, обе группы сохранили оценки, которые были близки к правильным значениям.

Рисунок 3. Результаты эксперимента 1.

Результаты группы 1A (группа с большой дисперсией) находятся в верхней строке, а результаты группы 1B (группа с небольшой дисперсией) — в нижней строке. A), D) Ошибка в расчетном среднем предшествующем, в течение эксперимента (каждая ячейка представляет собой 10 последовательных испытаний), усредненная по субъектам (среднее +/- стандартная ошибка). Крайняя правая точка — это среднее значение по предметам и испытаниям.B), E) Прирост, r , субъекты, использованные во время эксперимента, усредненный по субъектам. Жирная черная линия показывает соответствие модели байесовского вывода экспериментальным данным. C), F) Предполагаемое предварительное среднее значение по мере его развития в ходе эксперимента.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0012686.g003

В отличие от быстрого получения априорного среднего, мы обнаружили, что испытуемым может потребоваться множество испытаний, чтобы прийти к точной оценке дисперсии.Чтобы сделать вывод об оценке этой дисперсии каждым испытуемым, мы измерили относительное взвешивание испытуемых, помещенных на реплику, по отношению к предыдущему среднему значению при оценке местоположения целевой монеты (наклон на рис. 2). Это усиление, r , является мерой оценки субъектом априорной оценки (см. Методы). Если бы испытуемые считали, что предшествующее имеет широкое распространение, r было бы близко к 1,0, указывая на то, что реплика была лучшим показателем местоположения целевой монеты. Точно так же, если бы испытуемый считал, что априор имеет узкое распределение, коэффициент усиления — будет близок к 0, указывая на то, что среднее априорное значение является лучшим показателем для целевой монеты.Мы вычислили этот выигрыш для 10 последовательных испытаний. Для всех испытуемых r принимали относительно большие значения в первых испытаниях, указывая на то, что испытуемые верили в «плоскую» априорность; например Субъект проявил небольшое предпочтение изначально полагать, что монеты появятся в любом ожидаемом месте. Однако по мере продвижения эксперимента r сходились к правильному значению. Для группы 1B данные, усредненные по субъектам, показали, что для правильной оценки дисперсии предыдущего (см.рис.3E). Рассматривая только последние 50 испытаний, мы обнаружили, что среднее значение r для разных субъектов существенно не отличалось от истинного значения (два образца t -тест, p> 0,1 ). Из-за предрасположенности испытуемых к плоскому предшествующему результату испытуемые в группе 1А по существу начали эксперимент с правильным приростом (см. Рис. 3В, последние 50 испытаний также существенно не отличаются от истинного значения, p> 0,1 ). Используя значения, полученные для среднего и дисперсии, мы смогли восстановить предварительную оценку испытуемого в ходе обучения (рис.3Б, Д). Этот анализ показывает, что испытуемые сходятся к правильной дисперсии предыдущего с временной шкалой порядка сотни испытаний.

Эксперимент 2

На основании результатов эксперимента 1 мы пришли к выводу, что испытуемые могут научиться правильно включать априорное положение в свою стратегию и приблизительное количество требуемых испытаний. Однако могло случиться так, что испытуемые не научились правильно представлять предыдущее, а скорее разработали эвристику, выполняющую ту же функцию.Поэтому мы хотели оценить, были ли точно оценены отдельные параметры априорного распределения. Таким образом, второй эксперимент был разработан для изучения способности испытуемых узнавать априорную дисперсию. Одна из двух дисперсий, использованных в эксперименте 1, была случайным образом выбрана для начала эксперимента. После половины испытаний (250) дисперсия приора изменится на другое значение. Во время этого эксперимента было выполнено только одно переключение, поскольку эксперимент 1 показал, что для определения дисперсии потребовалось много попыток (~ 200).Всего 14 человек выполнили эксперимент 2, завершив 500 испытаний. Семь субъектов впервые подверглись большой дисперсии (группа 2A), а семь субъектов впервые подверглись небольшой дисперсии (группа 2B, см. Рис. 4). Чтобы успешно выполнить задачу, каждый испытуемый должен был бы сделать вывод, когда изменилась дисперсия и каково было это новое значение.

Рис. 4. Данные репрезентативного субъекта в эксперименте 2B.

Для наглядности среднее значение априора целевой монеты было удалено из позиций контрольной монеты для центрирования данных.В течение первой половины эксперимента испытуемый подвергался предварительному воздействию с небольшой дисперсией (синие точки), и в среднем испытуемый помещал сетку относительно близко к среднему местоположению целевой монеты (вдали от диагонали). Во второй половине эксперимента дисперсия приора была широкой, и испытуемый постепенно помещал сеть ближе к биткой монете (красные точки). Показаны линейные соответствия первым 250 испытаниям (синяя линия) и последним 250 испытаниям (красная линия). Оптимальные наклоны Байеса равны 0.8 и 0.2.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0012686.g004

Первые 250 испытаний эксперимента 2, до дисперсии предыдущего переключения, были идентичны эксперименту 1. Действительно, производительность субъектов во время этих испытаний была очень похоже (см. рис. 5). Так же, как и в эксперименте 1, обе группы быстро получили среднее из предшествующих значений, при этом группа 2A показала большую неопределенность среднего значения, чем группа 2B ( p <0,001 ). Субъекты приобрели правильную дисперсию в более медленной шкале времени, статистически неотличимой от первых 250 испытаний эксперимента 1 (при побочном сравнении не было значительных различий, два образца t -тестов, p> 0 .1 ). Вторые 250 испытаний предложили некоторые различия. В среднем, новая дисперсия не повлияла на способность испытуемого поддерживать правильную оценку априорного среднего значения. Однако, как было замечено ранее, дисперсия априорного значения действительно повлияла на наблюдаемую неопределенность в этой оценке. Например, в группе 2A, как только предыдущая дисперсия уменьшилась до нового меньшего значения, изменчивость средней оценки уменьшилась (см. Рис. 5A, p <0,001 ). Точно так же в группе 2B после увеличения дисперсии априорной оценки изменчивость средней оценки увеличилась (рис.5D, p <0,001 ). Поэтому кажется разумным, что их оценка была основана на фактическом распределении априорного, а не на какой-то эвристике, отличной от априорной. Более того, похоже, что первая половина эксперимента не повлияла на оценку испытуемыми среднего во второй половине эксперимента.

Рисунок 5. Результаты для группы 2.

Результаты группы 2A (сначала большая дисперсия) находятся в верхней строке, а результаты группы 2B (сначала небольшие отклонения) — в нижней строке.A), D) Ошибка в расчетном среднем предшествующем, в течение эксперимента (каждая ячейка представляет собой 10 последовательных испытаний), усредненная по субъектам (среднее +/- стандартная ошибка). Крайний справа — среднее значение по предметам и испытаниям. B), E) Прирост, r , субъекты, использованные во время эксперимента, усредненный по субъектам. Жирная черная линия указывает на предсказание байесовской модели вывода для экспериментальных данных. Для сравнения, серая линия — это прогноз модели линейного фильтра с фиксированной скоростью обучения. C), F) Предполагаемое среднее значение, предшествующее эксперименту.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0012686.g005

Хотя изучение другого предшествующего первого не повлияло на оценки среднего, оно может повлиять на последующее изучение дисперсии. Действительно, во вторых 250 испытаниях эксперимента 2 наблюдались очевидные различия в скорости, с которой испытуемые узнавали дисперсию предшествующего. Скорость обучения во второй половине эксперимента 2 была меньше, чем кажущаяся скорость обучения в первой половине (или, что то же самое, в первой половине эксперимента 1).Например, сравнивая последнюю половину результатов группы 2A с первыми 250 испытаниями группы 2B (рис. 5B, E), мы видим, что испытуемые в группе 2A в среднем медленнее усваивали правильную оценку дисперсии априорной оценки, чем группа 2B. Точно так же в группе 2B после 500 испытаний среднее поведение еще не отражало точную оценку дисперсии, как это было в первой половине группы 2A. Вывод среднего испытуемого до использования измеренных достижений и означает, что мы можем отследить предыдущее, поскольку оно менялось в процессе обучения (рис. 5C, F).Казалось, что обучение первому предшествующему как-то препятствовало способности испытуемых адаптироваться ко второму предшествующему. Это особенно очевидно при переходе от большой дисперсии к малой; изменение в предшествующем обучении было постепенным (рис. 5B).

Для дальнейшего анализа этих результатов мы сравнили их с результатами идеализированной байесовской модели вывода. Наблюдая за местоположением метки и целевой монеты, модель точно применила правила байесовской статистики для обновления совместного распределения априорного среднего и дисперсии (см. Методы).Модель содержала четыре свободных параметра, которые необходимо было указать, прежде чем мы сможем сравнить ее результаты с результатами испытуемых. Поэтому мы использовали данные эксперимента 1 для соответствия параметрам модели (см. «Методы», Приложение S1 и рис. 3B, E), а затем приступили к вычислению результатов модели для эксперимента 2. Таким образом, мы могли сравнить характеристики идеальной байесовской модели с характеристиками человека. поведение без проблем с переоборудованием. Имея больше знаний о задаче, чем испытуемые, модель представляет собой верхний предел точности того, что можно наблюдать экспериментально.

Хорошее соответствие эксперименту 1 было получено с помощью байесовской модели вывода (см. Рис. 3B, E, черная линия) за счет минимизации логарифмической вероятности исследуемых данных. Результирующая среднеквадратичная ошибка между измеренными субъектом значениями r и значениями, полученными с помощью модели в обеих группах, составила 0,071. Модель предсказывала очень маленькие ошибки в априорном среднем значении и была по существу правильной в своей оценке после первых нескольких интервалов. Затем эту модель использовали для прогнозирования результатов эксперимента 2.Поведение модели было качественно похоже на поведение испытуемых (см. Рис. 5B, E, черные линии). В частности, обратите внимание, что модель логического вывода правильно предсказывает отсутствие изменений в предварительном оценочном среднем, но более медленную скорость обучения для второй половины эксперимента; так же, как и с данными испытуемого, модель медленно выводит последнюю половину эксперимента 2А по сравнению с первой половиной эксперимента 2В. Первоначально модель относительно неопределенна в отношении априорной и предрасположена к оценке больших изменений дисперсии на основе наблюдаемого распределения монет.По мере продвижения эксперимента оценка дисперсии моделью становится более достоверной. К испытанию 250 ^th уверенность модели в априорной дисперсии делает ее нечувствительной к новым наблюдениям за распределением монеты, что теперь указывает на другую дисперсию. В результате модель теперь медленно оценивает новую дисперсию, качественно похожую на поведение испытуемых. Среднеквадратичная ошибка между измеренными испытуемыми значениями r и значениями, предсказанными с помощью этой модели вывода в обеих группах, составила 0.077. Опять же, оценка модели априорного среднего значения была по существу правильной после первых нескольких интервалов.

Чтобы подчеркнуть как хорошее соответствие этой байесовской модели вывода, так и наблюдаемое снижение скорости обучения, мы представляем вторую модель вывода для сравнения. Эта модель, явно простая и небайесовская, оценивала только априорную дисперсию с постоянной скоростью обучения. Модель использовала текущее окно последних десяти испытаний для вычисления выборочного наблюдения дисперсии предшествующего.Обновленная оценка модели представляла собой линейную комбинацию ее предыдущей оценки и текущего наблюдения (см. Приложение S1). Как и в случае с байесовской моделью вывода сверху, два параметра этой модели соответствовали данным из эксперимента 1. Хотя она качественно хорошо соответствовала данным из эксперимента 1, эта модель плохо справлялась с предсказанием второй половины эксперимента. 2 (см. Рис. 5Б, Д, серые линии). Используя параметры, полученные в результате подгонки к эксперименту 1, эта модель предсказывала, что субъекты сойдутся к правильным оценкам априорной дисперсии к концу вторых 250 испытаний.Хотя эта модель, по-видимому, близко соответствует поведению испытуемого во время начальных испытаний после перехода от узкого распределения к широкому (рис. 5E), в целом байесовская модель все еще работает лучше. Среднеквадратичная ошибка между этой моделью и измеренными значениями — в обеих группах составила 0,205, что почти в три раза больше, чем в байесовской модели вывода. Эта упрощенная модель вывода с постоянной скоростью обучения не смогла уловить даже качественные эффекты эксперимента 2, когда предыдущая модель переключилась с широкого на узкое распределение.На основании этих результатов выясняется, что испытуемые начали эксперименты, относительно неуверенные в предшествующих, но становились все более уверенными по мере продвижения эксперимента. Это объясняет очевидную более медленную скорость обучения позже в экспериментах.

Эксперимент 3

Третий эксперимент был разработан для проверки способности испытуемого узнавать априорное среднее независимо от дисперсии. Мы сохранили дисперсию априорной константы, но изменили ее среднее значение. В начале эксперимента среднее априорное значение было случайным образом выбрано между одним из двух местоположений.Каждый субъект был подвергнут минимум 10 последовательным испытаниям с одним и тем же предшествующим этапом, после которых была небольшая вероятность того, что среднее значение переключится на другое значение в любом испытании. В ходе эксперимента каждый испытуемый подвергнется примерно 50 из этих изменений в предыдущем среднем. Десять субъектов выполнили эксперимент (600 испытаний) после того, как получили те же инструкции, что и в предыдущих экспериментах выше (см. Методы). Как и в предыдущих экспериментах, испытуемые должны были сделать вывод, когда среднее значение изменилось, и какое новое значение этого среднего было, чтобы успешно выполнить задачу.

Как и в предыдущих двух экспериментах, испытуемые быстро получали точную оценку среднего значения, хотя оно часто менялось. В отличие от предыдущего анализа, мы хотели изучить временные аспекты этой оценки на относительно быстрой временной шкале единичных испытаний, а не на блоках из 10 испытаний. Для каждого испытуемого мы использовали данные, зафиксированные в первом испытании после переключения на предыдущее среднее значение. Это позволило нам наблюдать, как субъекты оценивают среднее значение от испытания к испытанию.Затем мы усреднили эти оценки априорного среднего по всем десяти предметам (см. Рис. 6А). Как можно видеть, в среднем испытуемые могли определить изменение среднего почти сразу и вносили изменения в свою стратегию, которые отражали правильную оценку среднего примерно после двух испытаний.

Рис. 6. Результаты эксперимента 3.

A) Расчетное среднее значение для предыдущего, зафиксированного в испытании, которое ранее переключилось (усредненное по всем субъектам и всем переключениям в предыдущем).Жирная черная линия указывает на прогноз модели вывода тех же данных. Б) Субъекты измерили выигрыш, – (среднее значение по первым 10 испытаниям после перехода и по всем субъектам). C) Предполагаемое предыдущее среднее значение, как оно изменилось после переключения.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0012686.g006

Чтобы еще раз сравнить результаты испытуемых с результатами байесовской статистики, мы разработали новую байесовскую модель вывода для проведения того же эксперимента по ловле монет.Модель вывода, использованная в экспериментах 1 и 2, не подходит для этой задачи. С допущением этой модели об одном среднем значении, по мере продолжения эксперимента уверенность модели в значении среднего будет расти и становиться все более нечувствительной к новым данным. Эта пониженная чувствительность к переключению в предыдущем среднем не наблюдалась у испытуемых, более того, они, по-видимому, стали лучше понимать переключение по мере продвижения эксперимента. С учетом этих соображений мы разработали новую байесовскую модель вывода, которая имела преимущество знания местоположения двух возможных средств и правильной вероятности переключения между этими средствами.Следовательно, для грамотного выполнения каждого испытания модели вывода требовалось только оценить, какое из двух средств используется в настоящее время. Точно применяя правила байесовской статистики, модель использовала наблюдаемые местоположения монет для оценки правильного априорного значения. Затем модель может оценить местоположение целевой монеты (см. Методы). Поведение модели вывода было очень похоже на поведение среднего испытуемого, и ее оценка предыдущего среднего значения изменилась лишь немного быстрее, чем среднее поведение испытуемого (R ² = 0.90 для двух кривых, фиг. 6A). Мы подчеркиваем, что эта байесовская модель вывода содержала больше информации, чем испытуемые, и представляла верхнюю границу их эффективности.

В отличие от двух предыдущих экспериментов, среднее поведение испытуемых показало, что им труднее получить точную оценку дисперсии априора. Учитывая, что два средних значения для априорного были в пределах одного стандартного отклонения как от вероятности, так и от априорного, частое переключение могло препятствовать способности испытуемых точно оценить дисперсию априорного значения.Смешение переключения априорного среднего с разбросом монет может привести к завышению вероятности, что согласуется с наблюдаемым уменьшенным показателем — . Мы усреднили данные каждого субъекта по последним 200 испытаниям, чтобы вычислить их оценку прироста, –, а затем усреднили по субъектам. Среднее значение r было значительно меньше истинного значения ( p <0,001 рис. 6B). Используя это среднее значение и предполагаемые средние, мы смогли восстановить среднее значение испытуемых, оцененное ранее (опять же, предполагая точную оценку правдоподобия) после переключения экспериментального среднего (рис.6С).

Обсуждение

Здесь мы исследовали, как нервная система учится и представляет априор. Мы начали наше исследование с двух гипотез относительно скорости обучения, мотивированных различными концепциями нейронного кодирования неопределенности. Среднее значение и дисперсию априорного значения можно было узнать с одинаковой или разной скоростью. Отслеживая поведение испытуемых в процессе обучения, мы смогли отследить, как люди изучают априорные значения. Наши результаты представляют собой убедительные доказательства того, что среднее значение и дисперсия были получены точно (при достаточном количестве испытаний), однако с разной скоростью, и что эти показатели менялись по мере выполнения задачи.Очевидное снижение скорости обучения соответствовало статистической модели оптимальной оценки, которая вначале была относительно неуверенной, но постепенно становилась достоверной в своих оценках. Это контрастировало с линейной моделью с постоянной скоростью, которая не могла предсказать изменение скорости обучения. Более того, наши результаты показывают, что нервная система может эффективно обучаться априорному заданию по мере того, как статистика задачи изменяется с течением времени, и рационально использовать его, в соответствии с предсказаниями байесовской модели логического вывода.Хотя во многих исследованиях предполагалось, что испытуемые изучают априорное значение, мы подробно измерили, как это делают люди. Наши результаты свидетельствуют о том, что люди могут сформировать точную априорную оценку, оценив ее среднее значение и дисперсию.

Это исследование было первой попыткой изучить временные характеристики того, как испытуемые получают оценку предшествующего. Чтобы ограничить объем статьи, мы использовали нормальное распределение для экспериментального априорного значения и вероятности. В этих условиях оптимальный Байесовский вывод о местоположении целевой монеты является линейной функцией от местоположения реплики.Действительно, для определения местоположения целевой монеты требовалось только два числа: член смещения и наклон (коэффициент усиления r ). Простая форма этого байесовского оптимального решения затрудняет нашу способность сделать вывод о том, точно ли испытуемые оценивали предшествующий эксперимент. Например, может случиться так, что испытуемые на самом деле не изучают точные априорные значения, а вместо этого пытаются оценить все распределения как гауссовские, просто оценивая среднее значение и дисперсию. Или, что еще проще, субъекты могут полностью игнорировать процесс представления априорного значения и вероятности и просто оценивают два результирующих параметра, которые необходимы для оптимального вывода.Однако у нас есть несколько причин полагать, что это не так, и испытуемые фактически пытаются точно представить необходимую статистику. На основании предыдущих исследований известно, что испытуемые реагируют на изменения в статистике как априорной, так и вероятностной. В частности, в одном исследовании, когда испытуемые столкнулись с негауссовыми распределениями, их поведение стало предсказуемо нелинейным [5]. Это противоречит простой линейной аппроксимации кий и целевым монетам. Более того, когда испытуемым в этом исследовании были представлены новые вероятности, они обобщили подходящим способом Байеса; подразумевающие субъекты выучили предшествующий, а не просто r .Наконец, с вычислительной точки зрения, значение r (которое определяется отношением двух случайных гауссовских переменных) имеет негауссовское распределение с большим вторым моментом. Поэтому прямой и точный вывод этой переменной является неоправданным осложнением. В будущих исследованиях можно было бы изучить степень, в которой испытуемые точно представляют априорное и вероятностное, или использовать приближенную эвристику.

Во всех 3 экспериментах испытуемые одновременно видели и реплику, и целевую монету в каждом испытании.Таким образом, испытуемые могут непосредственно наблюдать за распространением вероятности и получать множество таких наблюдений. С другой стороны, пробы из предыдущего опыта напрямую не наблюдаются, а должны собираться от испытания к испытанию. Основываясь на этих соображениях и результатах аналогичной работы, описанной выше, мы предположили, что испытуемые быстро оценили вероятность отклонения, и что динамика процесса обучения определялась оценкой предшествующего. Предполагая, что эти соображения верны, наше исследование обращается к изучению априорных значений.Тем не менее, в будущих исследованиях можно будет конкретно изучить, насколько быстро субъекты точно оценят вероятность.

В целом, испытуемые смогли быстро узнать среднее из априорных значений. По сравнению с байесовской моделью вывода, испытуемые показали себя особенно хорошо, когда среднее из априорных значений неоднократно менялось (эксперимент 3). Модель вывода, прекрасно зная два возможных средства, просто оценила, какой из них наиболее вероятен в настоящее время. Судя по показателям испытуемых, они могли сделать то же самое; то есть, вместо того, чтобы постоянно выводить среднее значение на основе данных, испытуемые запомнили два возможных средства и оценили, какое из них использовалось.Вероятно, что после того, как испытуемые неоднократно подвергались воздействию этих двух средств, они делали вывод о причинной структуре задачи [4], [7], [16], [17]. Поведение человека похоже на поведение оптимального наблюдателя, и нервная система, таким образом, использует мощные алгоритмы обучения.

Могут быть как статистические, так и нейробиологические причины нашего вывода о том, что испытуемым потребовалось больше времени, чтобы узнать дисперсию, чем среднее из предыдущих. Со статистической точки зрения для точной оценки дисперсии требуется больше выборок, чем для средней.Таким образом, вполне объяснима относительно медленная сходимость к правильной дисперсии для априорной. Также может быть, что субъекты имеют опыт реального мира, который предполагает, что явления изменяются в относительно медленных временных масштабах. Кроме того, в начале эксперимента испытуемые проявляли склонность к тому, чтобы принять плоское решение. Опять же, это может быть основано на реальном опыте предпочтения широкого распространения. С вычислительной точки зрения, это также можно рассматривать как разумную стратегию, пренебрегая априорными (или, что то же самое, предполагая плоские априорные результаты) в стратегии максимального правдоподобия (а не полной байесовской оценке).С нейробиологической точки зрения мы также можем ожидать разную скорость обучения. Различные направления исследований, посвященные быстрому обучению возмущению (среднему), затрагивают мозжечок [18], [19], [20]. Другие исследования показали, что неопределенность (дисперсия) может быть представлена ​​в базальных ганглиях и области LIP (например, [21], [22]). Эти области могут демонстрировать более медленное обучение, чем мозжечок. Комбинация этих различных нейронных структур может привести к быстрому обучению средствам и более медленному обучению вариативности.

Мы также видим как статистические, так и нейробиологические причины того, что испытуемые медленнее адаптировались по мере продвижения эксперимента. Модель вывода, точно применяющая правила байесовской статистики, по мере продвижения эксперимента становилась все более уверенной в предшествующей модели. В результате модель медленнее реагировала на изменение предшествующей модели во второй половине эксперимента. Субъекты, похоже, используют аналогичную стратегию, возможно, они становятся более уверенными в своих убеждениях и менее чувствительны к своим наблюдениям.Этот вывод об изменении скорости обучения при изменении неопределенности параметров также согласуется с растущим объемом экспериментальных данных. Недавние результаты показывают, что определенные корковые структуры могут отражать уровень неуверенности субъекта в параметрах задания [13], [14], [22], [23]. Дальнейшие данные предполагают, что нейромодуляторы также могут кодировать неопределенность [15], [21]. Эти представления о неопределенности могут позволить нервной системе относительно быстро обучаться в начале эксперимента, когда испытуемые, как правило, не уверены в своей задаче [24].По мере того, как эксперимент продвигается, и субъекты становятся более уверенными в своих убеждениях, нервная система может учиться медленнее.

В дополнение к изменяющейся во времени скорости адаптации, казалось, что субъекты асимметрично адаптировались к увеличению и уменьшению априорной дисперсии, якобы реагируя быстрее, когда дисперсия резко увеличивалась (рис. 5E). Наша байесовская модель вывода использовала относительно простую генеративную модель, достаточную для объяснения изменяющегося во времени характера адаптации, на которой мы сосредоточились.Интересно, что это же асимметричное явление было описано в вычислительных моделях оптимальной байесовской оценки дисперсии [25]. Более того, такая же асимметрия наблюдалась в нейронных данных при адаптации к аналогичным изменениям дисперсии стимула [26]. Вместе с нашими данными эти теоретические и феноменологические открытия свидетельствуют о том, что нервная система использует почти оптимальную оценку статистики стимулов.

Как средняя результативность испытуемого, так и байесовское моделирование показали, что испытуемые быстро приобрели среднее из предшествующих.Однако, в отличие от байесовской модели, испытуемые продолжали демонстрировать относительно большие отклонения в этой оценке на протяжении всего эксперимента. Если бы испытуемые считали статистику эксперимента стационарной, их дисперсия должна была бы уменьшаться по мере продолжения эксперимента. Это не было очевидным. Может случиться так, что, хотя субъекты считают, что окружающая среда стационарна, они периодически проявляют «небайесовское» поведение. Хорошо известным примером этого является так называемое поведение согласования [27].В нашем эксперименте испытуемые могли демонстрировать похожее явление, делая выбор, несовместимый с максимальной апостериорной оценкой . Кроме того, может случиться так, что испытуемые не верят строго в стационарные распределения, а вместо этого допускают возможность изменений. Это означало бы, что их неопределенность (и результирующая дисперсия) должна оставаться ненулевой даже в установившемся режиме. Это тоже соответствовало бы их поведению.

Эксперимент по ловле монет — это задача, требующая как вывода (где находится целевая монета?), Так и последующего решения, основанного на этом заключении (где должна быть размещена сеть?).То есть, строго говоря, субъекты могут взвешивать свое решение о том, где разместить сеть, с проблемами, отличными от того, где, по их мнению, наиболее вероятно будет находиться цель; например сколько усилий нужно, чтобы переместить сетку туда, где, по их мнению, будет цель. Теоретически при описании поведения субъектов мы должны использовать функцию потерь или ценности. Однако наша задача была построена таким образом, чтобы моторное усилие (поворот лопастного колеса) было минимальным. В результате наша задача фактически была проблемой оценки, и с помощью байесовских алгоритмов мы смоделировали ее как таковую.Более того, поведение субъектов может зависеть от других факторов, таких как острота зрения. Путем демонстрации относительно больших монет ярких цветов на относительно нейтральном фоне и размещения испытуемых близко перед монитором компьютера в эксперименте была предпринята попытка минимизировать этот внутренний шум измерения по сравнению с экспериментально контролируемой дисперсией монет-реплик. Таким образом, задача была разработана, чтобы выявить априорные предпочтения испытуемых и минимизировать влияние других факторов.

Отслеживание изменения априорных значений может открыть возможность для нового анализа нейронных репрезентаций в сенсомоторных задачах.Такие свойства, как внешние стимулы или двигательное поведение, могут находиться далеко «вверх» или «вниз по течению» от их нейронных репрезентаций, в зависимости от того, откуда в мозге записываются данные. Однако сочетание электрофизиологических исследований с проведенным здесь анализом дает новый коррелят для нейронных данных. Развитие априорной теории, выведенной из поведенческих данных, может предложить более тесную корреляцию с внутренними представлениями о задаче и результирующими двигательными результатами. Таким образом, этот подход может предложить новый способ анализа нейронных представлений в широком диапазоне перцептивных, моторных и, возможно, когнитивных задач.

Приоры характеризуют убеждения, которых придерживаются люди, и являются неотъемлемой частью того, как мы принимаем решения о действиях и формируем решения. Некоторые недавние модели неврологических заболеваний, таких как шизофрения, теперь используют количественные стратегии байесовской статистики [28], [29]. Таким образом, использование стратегий, разработанных в этом исследовании, может предложить новые способы анализа механизмов, вызывающих неврологический дефицит.

Вклад авторов

Эксперимент задумал и спроектировал: МБ МВ КПК.Проведены эксперименты: МБ МВ. Проанализированы данные: МБ. Написал статью: МБ МВ КПК.

Ссылки

1. 1. Weiss Y, Simoncelli EP, Adelson EH (2002) Иллюзии движения как оптимальные восприятия. Nat Neurosci 5: 598–604.
2. 2. Стокер А.А., Симончелли Е.П. (2006) Характеристики шума и предварительные ожидания в восприятии скорости человеческого зрения. Nat Neurosci 9: 578–585.
3. 3. Джейкобс Р.А. (1999) Оптимальная интеграция текстуры и сигналов движения по глубине.Видение Res 39: 3621–3629.
4. 4. Кординг К.П., Бейерхольм Ю., Ма В.Дж., Кварц С., Тененбаум Дж. Б. и др. (2007) Причинный вывод в мультисенсорном восприятии. PLoS ONE 2: e943.
5. 5. Кординг К.П., Вольперт Д.М. (2004) Байесовская интеграция в сенсомоторном обучении. Природа 427: 244–247.
6. 6. Miyazaki M, Nozaki D, Nakajima Y (2005) Тестирование байесовских моделей времени совпадений человека. J Neurophysiol 94: 395–399.
7. 7. Хадсон Т.Э., Мэлони Л.Т., Лэнди М.С. (2007) Планирование движения с вероятностной целевой информацией.J Neurophysiol 98: 3034–3046.
8. 8. Берникер М., Кординг К. (2008) Оценка источников двигательных ошибок для адаптации и обобщения. Nat Neurosci 11: 1454–1461.
9. 9. Адамс У. Дж., Граф Э. У., Эрнст МО (2004) Опыт может изменить предшествующее «свет сверху». Nat Neurosci 7: 1057–1058.
10. 10. Tassinari H, Hudson TE, Landy MS (2006) Объединение априорных и шумных визуальных сигналов в задаче быстрого наведения. J Neurosci 26: 10154–10163.
11. 11. Thoroughman KA, Shadmehr R (2000) Обучение действию через адаптивную комбинацию моторных примитивов. Nature 407: 742–747.
12. 12. Кавато М., Фурукава К., Судзуки Р. (1987) Иерархическая модель нейронной сети для управления и обучения произвольным движениям. Biol Cybern 57: 169–185.
13. 13. Behrens TE, Woolrich MW, Walton ME, Rushworth MF (2007) Изучение ценности информации в неопределенном мире. Nat Neurosci 10: 1214–1221.
14. 14. Киани Р., Шадлен М.Н. (2009) Представление уверенности, связанной с решением нейронов теменной коры. Наука 324: 759–764.
15. 15. Ю. А. Дж., Даян П. (2005) Неопределенность, нейромодуляция и внимание. Нейрон 46: 681–692.
16. 16. Вэй К., Кординг К. (2009) Актуальность ошибки: что движет адаптацией двигателя? J Neurophysiol 101: 655–664.
17. 17. Тененбаум Дж. Б., Гриффитс Т. Л., Кемп С. (2006) Теоретические байесовские модели индуктивного обучения и рассуждений.Тенденции Cogn Sci 10: 309–318.
18. 18. Chen H, Hua SE, Smith MA, Lenz FA, Shadmehr R (2006) Влияние разрушения таламуса мозжечка человека на адаптивный контроль достижения. Cereb Cortex 16: 1462–1473.
19. 19. Незафат Р., Шадмер Р., Холкомб Х. Х. (2001) Долгосрочная адаптация к динамике движений достижения: исследование ПЭТ. Exp Brain Res 140: 66–76.
20. 20. Льюис Р.Ф., Тамарго Р.Дж. (2001) Поражения мозжечка нарушают контекстно-зависимую адаптацию движений к движению у приматов.Exp Brain Res 138: 263–267.
21. 21. Schultz W., Preuschoff K, Camerer C, Hsu M, Fiorillo CD, et al. (2008) Явные нейронные сигналы, отражающие неопределенность вознаграждения. Philos Trans R Soc Lond B Biol Sci 363: 3801–3811.
22. 22. Черчленд А.К., Киани Р., Шадлен М.Н. (2008) Принятие решений с несколькими альтернативами. Nat Neurosci 11: 693–702.
23. 23. Rushworth MF, Behrens TE (2008) Выбор, неопределенность и ценность в префронтальной и поясной коре.Nat Neurosci 11: 389–397.
24. 24. Бердж Дж, Эрнст М.О., Бэнкс М.С. (2008) Статистические детерминанты скорости адаптации в достижении человеком. J Vis 8: 20 21–19.
25. 25. ДеВиз М., Задор А. (1998) Асимметричная динамика в оптимальной адаптации дисперсии. Нейронные вычисления 10: 1179–1202.
26. 26. Fairhall AL, Lewen GD, Bialek W, de Ruyter Van Steveninck RR (2001) Эффективность и неоднозначность в адаптивном нейронном коде. Nature 412: 787–792.
27. 27.Sugrue LP, Corrado GS, Newsome WT (2004) Соответствующее поведение и представление ценности в теменной коре. Science 304: 1782–1787.
28. 28. Fletcher PC, Frith CD (2009) Восприятие значит верить: байесовский подход к объяснению положительных симптомов шизофрении. Nat Rev Neurosci 10: 48–58.
29. 29. Дима Д., Ройзер Дж. П., Дитрих Д. Е., Боннеманн С., Ланферманн Х. и др. (2009) Понимание того, почему пациенты с шизофренией не воспринимают иллюзию полой маски, используя динамическое причинное моделирование.Нейроизображение.

Priors и пренебрежение базовой ставкой

было исследовано довольно подробно, и результаты показывают, что

человек очень чувствительны к изменениям в размере выборки. Это

особенно интересно тем, что, совершенно случайно по сравнению с более чем

всех целей исследования, оно предполагает, что многие из результатов

, относящиеся к «нечувствительности к размеру выборки», могут быть лучше всего объяснены, если предположить что люди используют внутреннее логарифмическое представление

для масштабирования размера выборки, что согласуется с

другими исследованиями, в которых рассматривалось психологическое представление величины.

Интересная возможность состоит в том, что предложенный логарифмический закон

для субъективного размера выборки может применяться не во всех случаях. Как указано в

, оценки параметров, полученные для эксперимента

2, находятся в тесном согласии с соответствующими оценками для эксперимента

iment 1. Однако, когда уровни «высокого доверия» зафиксированы

на единицу, как в эксперименте 2 , не только уровень «низкого доверия»

масштабируется соответствующим образом и еще раз указывает на сильный эффект подсчета dis-

, но теперь кажется, что размеры выборки линейно масштабируются на

(этого не происходит для Эксперимента 1, так как

подавляющее большинство условий, по-видимому, отражают логарифмический закон масштабирования микрофона

).Одним из объяснений несоответствия может быть

, что в некоторых ситуациях (предположительно с очень высоким уровнем доверия) люди

мысленно представляют данные в виде единой объединенной выборки —

человек, а не как две отдельные выборки. В этом объединенном случае

относительный вес предшествующих данных и новых выборок будет линейно объединяться. Возможно, что это различие между

\ объединением «и \ сравнением» наборов данных могло бы объяснить эффект ef-

, но без дополнительных данных трудно предположить больше, чем

.

Три последних оговорки в порядке. Во-первых, предлагаемый счетчик ac-

охватывает только взвешивание двух источников данных. Полный счет

должен расширить подход для работы с экстраполяцией

. Во-вторых, не утверждается, что дисконтирование

всегда сознательно: люди вполне могут иметь интуитивное предпочтение

полагаться, например, на более свежие данные, но все же

будут готовы признать (после эксперимента), что они \ должно «иметь

использованную теорему Байеса.Интуитивное (и соответствующее) недоверие

к базовым ставкам не противоречит способности

следовать логике байесовского обновления. Наконец, следует отметить

, что, поскольку в нашем экспериментальном плане использовались внутрипредметные сравнения

, он является деспотичным с точки зрения того, насколько

участников осведомлены о потенциальных вариациях в достоверности

. возможность работы с разными источниками данных. Таким образом, хотя очевидно, что

существуют ситуации, в которых люди очень хорошо

учитывают или дисконтируют предыдущие данные разумным образом —

ion, не так ясно, как в целом это происходит.В частности, требуется дальнейшее исследование

, чтобы определить, могут ли примеры

без каких-либо маркеров надежности, такие как традиционные эксперименты с пренебрежением базовой ставкой

, привести людей к доверию или недоверию

представленным базовым ставкам. Однако до тех пор, пока этот вопрос не будет решен повторно, кажется преждевременным основывать какое-либо обвинение в человеческой иррациональности

на основании предыдущих выводов базовой оценки.

Выражение признательности

MBW было поддержано ExxonMobil и Santos в виде

финансирования CIBP в Австралийской нефтяной школе.DJN

был поддержан грантом ARC DP-0773794. Авторы выражают благодарность

Анастасии Ейовой за сбор данных, а также Стиву Беггу и

Нэнси Бриггс за полезные обсуждения.

Ссылки

Андерсон, Дж. Р. и Скулер, Л. Дж. (1991). Отражения окружающей среды в памяти. Психологическая наука, 2, 396-408.

Бар-Гиллель, М. (1980). Ошибка базовой ставки в вероятностных суждениях —

суждения. Acta Psychologica, 44, 211-233.

Бернулли Дж. (1713). Ars Conjectandi, Basilea: Thurnisius.

Космидес, Л. и Туби, Дж. (1996). В конце концов, люди — хорошая интуитивная статистика —

тиков? Переосмысление некоторых выводов из литературы

о суждениях в условиях неопределенности. Познание, 58, 1-73.

Dehaene, S. (2003). Нейронная основа закона Вебера-Фехнера: логарифмическая линия с числами в уме

. Тенденции в когнитивных науках,

7 (4), 145-147.

Гигеренцер, Г.(1996). Об узких нормах и неопределенной эвристике: ответ

Канеману и Тверски (1996). Психологическое обозрение,

103 (3), 592-596.

Gigerenzer, G., & Hoffrage, U. (1995). Как улучшить байесовское рассуждение

без инструкции: Форматы частот. Psychologi-

Cal Review, 102 (4), 684-704.

Гигеренцер, Г., и Тодд, П. М. (1999). Простая эвристика

, которая делает нас умными. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета.

Глюк, М.А. и Бауэр Г. Х. (1988). От кондиционирования к категории

кровавое обучение: адаптивная сетевая модель. Журнал Experi-

Психология психики: Общие, 117, 227-247.

Goodie, A. S., & Fantino, E. (1999). Что помогает и что не помогает

смягчать пренебрежение базовой ставкой при непосредственном опыте. Журнал

Behavioral Decision Making, 12, 307-335.

Харрис, К. и Харви, Н. (2000). Являются ли абсолютные частоты, относительные частоты или обе частоты эффективными для снижения когнитивных искажений.

Журнал принятия поведенческих решений, 13, 431-444.

Хьюм, Д. (1739/1898). Трактат о человеческой природе. Лондон:

Ward Lock.

Джейнс, Э. Т. (2003). Теория вероятностей: логика науки.

Кембридж: Издательство Кембриджского университета

Канеман Д., Слович П. и Тверски А. (1982). Решение по

Неопределенность. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.

Канеман Д. и Тверски А. (1996). О реальности познавательных

иллюзий.Психологический обзор, 103 (3), 582-591.

Лаплас, П. С. (1814/1951). Essai Philosophique sur les Proba-

bilites (F. W. Truscott & F. L. Emory, Trans.). Нью-Йорк: Dover

Publications.

Ли, М. Д., и Камминс, Т. Д. Р. (2004). Накопление доказательств

в принятии решений: Объединение моделей «бери лучшее» и «рационально»

. Психономический бюллетень и обзор, 11 (2), 343-352.

Sedlmeier, P. & Gigerenzer, G. (1997).Интуиции о размере выборки

: Эмпирический закон больших чисел. Journal of Behavioral

Decision Making, 10, 33-51.

Шепард Р. Н., Килпатрик Д. В. и Каннингем Дж. П. (1975). Внутреннее представление чисел

. Когнитивная психология, 7, 82-

138.

Саймон, Х.А. (1956). Рациональный выбор и структура среды —

человека. Психологический обзор, 63, 129-138.

Сломан, С.А., Овер, Д., Словацкий, Л.И Стибел Дж. М. (2003). Частота

иллюзий и других заблуждений. Организационное поведение

и процессы принятия решений людьми, 91, 296-309.

Стиглер, С. М. (1986) История статистики Кембридж, Массачусетс:

Harvard University Press.

Тодд П. М. и Гигеренцер Г. (2000). Простая эвристика, которая делает нас умными

. Поведенческие науки и науки о мозге, 23 (5), 727-741.

Тодд, П. М. и Гигеренцер, Г. (2003). Граница рациональности в мире

.Журнал экономической психологии, 24, 143-165.

Тверски, А. и Канеман, Д. (1974). Суждение в условиях неопределенности:

эвристик и систематических ошибок. Science, 185, 1124–1131.

Тверски, А. и Канеман, Д. (1982). Доказательное влияние базовых ставок

. В деле Д. Канемана, П. Словича и А. Тверски (ред.), Решение

В условиях неопределенности: эвристика и предвзятость.